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A matematica em todos os tempos

Em todas as épocas da evolução humana, mesmo  nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado. O sentido do número, em sua significação primi­tiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenómeno mental mais complicado. Se o contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de anímais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pás­saros têm o sentido do número. Se um ninho con­tém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inex­plicável, êle pode distinguir dois de três.

O corvo assassinado

Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreen­der o pássaro, mas em vão; quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima,           e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um tru­que: dois homens entraram na torre, um fi­cou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar,

que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguin­tes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entra­ram na torre e depois saíram quatro, ura atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.

As espécies zoológicas com sentido do nu-. mero são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percep­ção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode despre­zá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civili­zado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não — para ajudar seu sentido do número — artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Esta última,

especialmente, se tornou parte tão integran­te de nossa estrutura mental que os teste» sobre nossa percepção numérica direta resul­taram decepcionantes. Essas provas con­cluem que o sentido visual! direto do nú­mero possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado.

Limitações vem de longe

Os estudos sobre os povos primitivos for­necem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completa-mente desprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão tão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro.

Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as línguas euro­peias apresentam traços destas antigas limi­tações: a palavra inglesa thriee, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". Há evi­dente conexão entre as palavras latinas três (três) e trans (mais além). O mesmo acon­tece no francês: trois (três) e três (muito).

Como nasceu o conceito de número? Da experiência'? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apai-xonante para discussão filosófica.

Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos sel­vagens atuais, é impossível deixar de con­cluir que sua iniciação matemática foi extre­mamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de nú­mero com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a êle que devemos o progresso da humanidade.

O número sem contagem

Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma ideia clara e lógica de número sem recorrer à contagem. En­trando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos; o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, pode­mos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois con­juntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.

Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemá­tica, e que recebeu o nome de correspondên­cia biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou am­bos os conjuntos se esgotem.

A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais as­sociações de ideias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da pa­lavra "cálculo", da palavra latina ccàculus, que significa pedra.

A ideia de correspondência

A correspondência biunivoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Po­de-se dizer que a contagem se realiza fazen­do corresponder, a cada objeto da coleção(conjunto),um número que pertence àsucessão natural: 1, 2, 3

A  A  A  A

 1     2      3     4 ...  

A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim suces­sivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado fòr oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito.

Mas o homem de hoje, mesmo com co­nhecimento precário de matemática, come­çaria a sucessão numérica não pelo um mas por. zero, e escreveria assim:

0, 1,2, 3,4...

É a sucessão dos números inteiros (forma­da pela dos números naturais com o acrés­cimo do elemento zero). A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da nu­meração escrita. O zero não só permite escre­ver mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o lei­tor — fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores ma­temáticos de todos os tempos; e a nossa nu­meração é muito posterior a todos eles.

Do relativo ao absoluto

Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por compara­ção, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilha­das), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.

Criando conjuntos -modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo, cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica redu­zida à seleção, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspon­dência biunívoca com o conjunto dado.

Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do ca­valo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa pode­ria ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.

É claro que, uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o represen­tava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou uni símbolo! À medida que o homem foi aprendendo a servir-se ca­da vez mais da linguagem, o som das pala­vras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim, os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvi­da ela precedeu de vários milhares de anos a aparição da escrita.

Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível exceção de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes de­ram nascimento sofreram uma metamorfose completa.

À procura do zero

No que diz respeito à estrutura dos nomes dos números, descobriu-se uma uniformida­de impressionante. Em todos os lugares, os dez dedos da mão deixaram sua marca per­manente. Desde os primeiros tempos da história egípcia estabeleceu-se um sistema de numeração decimal. Esse sistema não tinha um sinal particular para o zero, embora em certos casos os escribas o usassem intui­tivamente, pois deixavam um espaço vazio em seu lugar. A escrita egípcia possuía sím­bolos particulares para as unidades, dezenas, centenas, milhares, etc., repetindo-os da direita para a esquerda tantas vezes quantas necessárias para exprimir o número desejado.

i=i,  10 = n ; 100 = e

Assim: 123 = 111000

A numeração dos babilónios — que usa­vam apenas dois símbolos, um representan­do as unidades e outro as dezenas — apre­sentava duas originalídades: o sistema de posição e a base sexagesimal (apesar de co­nhecerem também a base decimal). Nesse sistema, o valor de um símbolo depende da sua posição relativa dentro do número es­crito, sendo mantido o valor das unidades de primeira ordem, multiplicadas por 60 as de segunda ordem, por 602 as de terceira ordem, e assim por diante. Por exemplo, o número 327 significaria entre os babilónios:

OX602) + (2X60) + 7

l.a ordem      2.a ordem       1.a ordem

(centena^)      (dezena)       (unidade)

No atual sistema decimal, seria:

(3X102)  + (2x10) + 7centena        dezena         unidade

Não existia um símbolo especial para o zero: no período mais avançado da civili­zação babilónica, êle era escrito no início de um número, simplesmente para preen­cher um espaço vazio. Sentia-se a necessi­dade de indicar as ordens que faltavam, pois o símbolo da unidade poderia significar tan­to 1 como 1.0 (=60) ou 1.00 ( = 602= 3 600). Embora em algumas tabuinhas hou­vesse também um espaço vazio para indicar o zero, este ainda não tinha a função de número.

A influência do sistema sexagesimal dos babilónios até hoje persiste na divisão da hora (60 minutos) e do minuto (60 segun­dos). Também no ângulo cada grau é divi­dido em 60 minutos.

Os maias, cujo sistema de numeração era adaptado ao número de dias do ano e tinha base 20, possuíam um símbolo para o zero, mas usado só em conexão com o calendário.

Assim como na China, na Grécia do apo­geu (três séculos antes de Cristo) provocava admiração quem fosse bom calculista. O sis­tema numérico dos gregos empregava as nove primeiras letras do alfabeto para os números de 1 a 9, as nove seguintes para os números de 10 a 90 e mais nove letras para os números de 100 a 900, num total de 27 símbolos.

Como nessa época o alfabeto grego conti­nha somente 24 letras, mais duas letras (F e Q) foram introduzidas, e a outra foi tirada do alfabeto fenício (S). Tamanha complica­ção de sinais nas contas era devida exata-mente à falta do zero, o que acarretava o desdobramento dos símbolos.

Embora já existissem sistemas numéricos com o uso do zero, na índia e entre os maias, apenas por volta do ano 1000 é que o zero e os atuais símbolos gráficos foram trazidos para a Europa pelos árabes, e por isso são chamados algarismos arábicos

Enc; conhecer

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